Kirana dia: Rangkuman Matematika Kelas X (Sepuluh)

Basa-basi..
Assalamu'alaikum .. apa kabar ? semoga baik ya. Aamiin. Berikut ini, Nadia mau nge-post document mengenai Ragkuman Pelajaran Matematika kelas X (Sepuluh). Nah, Bagi kalian yang butuh, yuk langsung di copy. Caranya? tekan tombol Ctrl+A lalu Ctrl+C.. sebelum di copy, setel dulu ukuran kertas pada microsoft word menjadi ukuran A4.

mohon maaf bila dokumen ini tidak terlalu lengkap

Makalah Matematika

MATERI MATEMATIKA KELAS X

Disusun Oleh :

1. Pradita Ayu Wulandari (X1)

2. Yusrifah (X2)

3. Cindy Permata Sari (X4)

4. Andre Kurniawan (X2)

5. Lopa Praduga (X1)

SMA NEGERI 10 KAB.TANGERANG

2105-2016

KATA PENGANTAR

Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada saya sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.

Saya menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini saya menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.

Saya menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya, saya dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan, saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Jambe, Oktober 2015

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...........................................................................................i

DAFTAR ISI.........................................................................................................ii

Bab 1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA.............................1

Bab 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT....

Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT.............................

Bab 4 LOGIKA MATEMATIKA........................................................................

Bab 5 TRIGONOMETRI....................................................................................

Bab 6 RUANG DIMENSI TIGA.........................................................................

PENUTUP..............................................................................................................

Bab 1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :

      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk    berlaku :


2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat






b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :


2). Sifat-sifat bentuk akar.






3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar




c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan   maka berlaku :

      Dari hubungan tersebut, diperoleh :

2). Sifat-sifat logaritma

Bab 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a) memfaktorkan,

b) melengkapkan kuadrat sempurna,

c) menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab: x2 + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

Apabila:

D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .

D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .

D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

x2 + 5 x + 2 = 0

x2 – 10 x + 25 = 0

3 x2 – 4 x + 2 = 0

Jawab :

x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

x2 – 10 x + 25 = 0

a = 1 , b = -10 , c = 25

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.

3 x2 – 4 x + 2 = 0

a = 3 , b = –4 , c = 2

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

ax2 + bx + c = 0

x2 + x + = 0

Contoh:

Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

x1 + x2 d.

x1.x2 e. x13 + x23

x12 + x22

Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x1 + x2 = 3

b. x1.x2 = 4

c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23

= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)

= 33 – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

→ mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:

dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real
Catatan:

Penyelesaian:

Metode grafik

Metode substitusi

Metode eliminasi

Metode gabungan substitusi-eliminasi

Contoh:

Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0

Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28 –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
x + 2y = 14   + (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28 –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum:

dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z =   2 (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x +   y + z = 6
3x – 2y + z = 2   (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y =   8   (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}

Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Bentuk Umum:

Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)

D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata

D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata

D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata

→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:

Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x2
x2 + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV

Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Bentuk umum:

Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax2 + bx + c = px2 + qx + r

(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0

Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)

D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real

D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real

D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real

→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh:

Substitusi persamaan1 ke 2:
x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5
x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0
2x2 + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x2 + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:

Bab 4 LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Setelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di bawah ini:

Logika matematika

Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka.

Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.

Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:

30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)

30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)

Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)

Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)

Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

Pernyataan A :

Becak memiliki roda tiga buah

Negasi dari pernyataan A :

Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:

p	q	P ^ q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B	S	S	Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S	B	S	Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S	S	S	Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.

Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B	S	B	Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S	B	B	Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S	S	S	Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

p	q	p => q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

p	q	p  q	Logika matematika
B	B	B	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Ekuivalensi pernyataan majemuk

Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini:

Kuantor pernyataan

Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.

Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini:

Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:

Bab 5 TRIGONOMETRI

A. Ukuran Sudut

1. Ukuran Derajat

Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).

Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:

2. Ukuran Radian

Satu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

3. Hubungan Derajat dengan Radian

Untuk mengubah sudut sebesar �� ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:

Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:

Contoh Soal

1. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!

Jawab :

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah gambar berikut!

Jika dipandang dari sudut ��, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.

Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka

Contoh soal

1. Jika sin 15°= y. Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!

a. Cos 15°

b. Tan 15°

Pemecahan:

a. Cos 15°

b. Tan 15°

2. Jawablah pertanyaan berikut!

a. Diketahui , tentukanlah nilai dari sin α, tan α, dan cosec α!

b. Tentukan nilai dari

Pemecahan:

a. Diketahui

b. Nilainya adalah

C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Dalam satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:

1. Kuadran I : 0°≤ α ≤ 90°

2. Kuadran II : 90° < α ≤ 180°

3. Kuanran III : 180° < α ≤ 270°

4. Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°

Perhatikan gambar berikut!

1. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I

Pada ∆ AOC, berlaku:

Pada ∆ BOC, berlaku:

2. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II

Pada ∆ AOC, berlaku: ∠α = 180°- ��

3. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III

Pada ∆ AOC berlaku: ∠ AOP = α

D. Persamaan Trigonometri sin x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α

1. Jika sin x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360°

2. Jika cos x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k . 360°

3. Jika tan x = tan α, maka x = α + k . 180°

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!

a. Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°

b. Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°

Pemecahan:

a. Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian={30°,150°}

b. Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesainnya adalah {180°}

E. Identitas Trigonometri

1. Rumus Dasar

2. Menentukan Identitas Trigonometri

a. Ubah bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas kanan.

b. Ubah bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas kiri.

c. Kedua ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama.

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa sec Y – cos Y = sin Y . tan Y

Penyelesaian:

1. sec Y – cos Y = sin Y . tan Y

bukti dengan mengubah ruas kiri

F. Trigonometri Pada Segitiga Sembarang

1. Aturan Sinus

Rumus:

Contoh soal

1) Perhatikan gambar berikut

Tentukan panjang x dalam cm!

Penyelesaian:

2. Aturan Cosinus

Rumus:

a²= b²+c² - 2bc cos ��

b² = a²+c² - 2ac cos ��

c² = a²+b² - 2ab cos ��

Contoh soal

1) Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang PR!

Pemecahan:

PR² = RQ² + PQ² – 2RQPQ cos ∠ Q

PR² = 17² + 30² – 2 . 17 . 30 cos 53°

PR² = 289 + 900 – 1020 . ⅗

PR² = 1189 – 612

PR² = 577

PR = √577 = 24,02 cm

3. Luas Segitiga

Rumus:

L = ½ ab sin ��

L = ½ bc sin ��

L = ½ ac sin ��

Contoh Soal

1. Hitunglah luas ABCD berikut!

Pemecahan:

a. Untuk ∆ BCD

Luas ∆ BCD = ½ BD.CD. sin ∠ D

Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . sin 30°

Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . ½ = ¼ . 216√12 = 108√3 cm²

b. Untuk ∆ ABD

Luas ∆ ABD = ½ AD.BD. sin ∠D

Luas ∆ ABD = ½ . 18. 18√2 . sin 105°

c. Luas ABCD

Luas ABCD = Luas ∆ BCD + Luas ∆ ABD

Luas ABCD = 108√3 cm²+ 81√3 + 81 cm²

Luas ABCD = 189√3 cm²+ 81 cm²

Luas ABCD = 327,35 + 81

Bab 6 RUANG DIMENSI TIGA

Garis tegak lurus bidang

Merupakan sebuah garis yang posisinya tegak lurus pada suatu bidang dimana garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis yang ada pada bidang tersebut.

Jarak titik dan garis

Jarak titik A dengan garis G merupakan panjang ruas dari garis AA' dimana titik A' merupakan proyeksi dari A pada g.

Jarak titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang merupakan panjang dari ruas garis AA' dimana titik A' adalah proyeksi dari titik A pada bidang.

Jarak antara dua garis sejajar

Untuk mengetahui jarak antara dua garis sejajar, kita harus menggambar sebuah garis lurus diantara keduanya. Jarak titik potong yang dihasilkan merupakan jarak dari kedua garis itu.

Jarak garis dan bidang yang sejajar

Untuk menentukan jarak antara garis dan bidang adalah dengan membuat proyeksi garis pada bidang. Jarak antara garis dengan bayangannya adalah jarak garis terhadap bidang.

Jarak antar titik sudut pada kubus

Jarak antar titik sudut pada kubus dapat diketahui melalui rumus:

diagonal sisi AC = a√2

diagonal ruang CE = a√3

ruas garis EO = a/2√6

Penting untuk diingat:

ketika kalian ingin menentukan jarak, hal yang pertama kali harus kalian lakukan adalah membuat garis-garis bantu yang membentuk segitiga. dengan begitu kalian akan lebih mudah dalam mencari jarak yang ditanyakan di dalam soal.

Sudut

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis dengan bayangannya apabila garis itu diproyeksikan terhadap bidang yang ada di bawahnya.

Sudut antara dua bidang

Sudut antara dua bidang merupakan sudut yang terbentuk oleh dua buah garis lurus yang posisinya tegak lurus dengan garis potong pada bidang α dan β

PENUTUP

Mengingat pentingnya pelajaran Matematika karena Mtematika termasuk pelajaran yang di ujikan dalam Ujian Nasional untuk itu penulis menyarankan bagi mereka yang mendapat nilai di bawah KKM untuk:

a. Siswa harus rajin berlatih berhitung agar mendapat nilai yang maksimal.

b. Berlatih mengerjakan soal-soal.

c. Selalu aktif dalam pembelajaran Matematika.

d. Mengerjakan tugas yang di berikan dan rajin belajar.

Karena kita tidak ada ruginya dalam belajar Matematika dan juga untuk mendapatkan nilai yang kita inginkan dan juga jika kita mau berlatih dan berusaha semua kata sulit itu bisa di atasi, tingkatan prestasi dan belajar anda dalam pelajaran matematika.

Kirana dia

Selasa, 20 Oktober 2015

Rangkuman Matematika Kelas X (Sepuluh)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar