Basa-basi..
Assalamu'alaikum .. apa kabar ? semoga baik ya. Aamiin. Berikut ini, Nadia mau nge-post document mengenai Ragkuman Pelajaran Matematika kelas X (Sepuluh). Nah, Bagi kalian yang butuh, yuk langsung di copy. Caranya? tekan tombol Ctrl+A lalu Ctrl+C.. sebelum di copy, setel dulu ukuran kertas pada microsoft word menjadi ukuran A4.
mohon maaf bila dokumen ini tidak terlalu lengkap
Makalah Matematika
MATERI
MATEMATIKA KELAS X
Disusun
Oleh :
1. Pradita
Ayu Wulandari (X1)
2. Yusrifah
(X2)
3. Cindy
Permata Sari (X4)
4. Andre
Kurniawan (X2)
5. Lopa
Praduga (X1)
SMA NEGERI 10
KAB.TANGERANG
2105-2016
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji
syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan
karunia-Nya kepada saya sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.
Saya
menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai
pihak, untuk itu dalam kesempatan ini saya menghaturkan rasa hormat dan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan
makalah ini.
Saya
menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan
baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya
dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai
dengan baik dan oleh karenanya, saya dengan rendah hati dan dengan tangan
terbuka menerima masukan, saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
pembaca.
Jambe, Oktober 2015
Penyusun
i
DAFTAR ISI
KATA
PENGANTAR...........................................................................................i
DAFTAR
ISI.........................................................................................................ii
Bab
1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA.............................1
Bab
2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI
KUADRAT....
Bab
3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT.............................
Bab
4 LOGIKA MATEMATIKA........................................................................
Bab
5 TRIGONOMETRI....................................................................................
Bab
6 RUANG DIMENSI TIGA.........................................................................
PENUTUP..............................................................................................................
ii
Bab 1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
a.
Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n
didefinisikan sebagai berikut :
Pengertian pangkat tersebut diperluas,
yaitu untuk
berlaku :
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
2). Sifat-sifat bentuk akar.
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan
maka berlaku :
Dari hubungan tersebut, diperoleh :
1
2).
Sifat-sifat logaritma
2
Bab 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT
A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan
kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx
+ c = 0 ,
a ¹ 0 a,
b dan c adalah bilangan real.
1. Menyelesaikan
Persamaan kuadrat
Persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)
memfaktorkan,
b)
melengkapkan kuadrat sempurna,
c)
menggunakan rumus.
a. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 +
bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1)
(x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut
akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh :
Selesaikan x2 –
4 x + 3 = 0
Jawab: x2 –
4 x + 3 = 0
(x – 3)
(x – 1) = 0
x – 3 =
0 atau x – 1 = 0
x =
3 atau x = 1
Jadi,
penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat
diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
3
x2 –
6 x + 9 – 4 = 0
x2 –
6 x + 9 = 4
(x –
3)2 = 4
x – 3 =
2 atau x – 3 = –2
x =
5 atau x = 1
Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
c. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus
penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0
adalah
Contoh :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 + 7x – 30 = 0
a =
1 , b = 7 , c = – 30
x =
3 atau x = –10
Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita
perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
dengan akar-akarnya , b2 –
4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian
persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus
tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari
nilai D.
Apabila:
D > 0
maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real berlainan, .
D = 0
maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
sama.
.
D < 0
maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan
kuadrat tidak mempunyai
akar real atau
persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa
menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan
kuadrat berikut:
x2 +
5 x + 2 = 0
x2 –
10 x + 25 = 0
3 x2 –
4 x + 2 = 0
Jawab :
x2 +
5 x + 2 = 0
4
a
= 1 , b = 5 , c = 2
D
= b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata
D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai
dua akar real berlainan.
x2 –
10 x + 25 = 0
a
= 1 , b = -10 , c = 25
D
= b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D
= 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua
akar real sama.
3 x2 –
4 x + 2 = 0
a
= 3 , b = –4 , c = 2
D
= b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata
bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2
= 0 tidak mempunyai akar real.
3.
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai
akar x1 dan x2.
ax2 +
bx + c = 0
x2 + x + =
0
Contoh:
Akar-akar x2 –
3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan
persamaan tersebut, hitunglah nilai:
x1 + x2 d.
x1.x2 e. x13 + x23
x12 + x22
Jawab: x2 –
3 x + 4 = 0 ® a = 1
, b = –3 , c = 4
a. x1 + x2 =
3
b. x1.x2 =
4
c. x12 + x22 = x12 + x22 +
2 x1.x2 – 2 x1.x2
=
(x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e.
(x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 +
3 x1 x22 + x23
= x13 +
3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 =
(x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3
. 4 (3)
= 27 – 36 = –9
5
Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN
KUADRAT
Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
→
mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:
dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real
Catatan:
Penyelesaian:
Metode
grafik
Metode
substitusi
Metode
eliminasi
Metode
gabungan substitusi-eliminasi
Contoh:
Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung
nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x
untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik
kedua masukkan nilai x selain 0
6
Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama
positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
x + 2y = 14 + (ditambah karena nilai y-nya positif dan
negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Sistem
Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
7
Bentuk
umum:
dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah
bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal:
dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga
eliminasi x)
Contoh:
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z = 2 (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x + y + z = 6
3x – 2y + z = 2 (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y = 8 (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}
Sistem
Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
8
Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)
D > 0
→ SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
D = 0 →
SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
D < 0
→ SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata
→ Dapat
juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:
Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x2
x2 + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke
persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV
Sistem
Persamaan Kuadrat (SPK)
9
Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga
diperoleh:
ax2 + bx + c = px2 + qx + r
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0
Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
D > 0
→ SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
D = 0 →
SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
D < 0
→ SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real
→ dapat
juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh:
Substitusi persamaan1 ke 2:
x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5
x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0
2x2 + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x2 + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:
10
Bab 4 LOGIKA MATEMATIKA
Logika
matematika adalah
sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu
matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara
mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan
mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan
kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan
dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi ,
implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang
ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Setelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi
mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di
bawah ini:
Logika
matematika
Pernyataan
Pernyataan
di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung
nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut
tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa
kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah
kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika
matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan
tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
Pernyataan
terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar
salahnya.
Agar
lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
30
+ 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
30
x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
Buah
maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
Jarak
antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi /
pernyataan ingkaran
Negasi
atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan,
negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar
bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang
ada di bawah ini:
11
Pernyataan
A :
Becak
memiliki roda tiga buah
Negasi
dari pernyataan A :
Tidak
benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
Pernyataan
Majemuk
Pernyataan
majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi ,
implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam
logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan
simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel
berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
p
|
q
|
P ^ q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p
benar dan q benar maka p dan q adalah benar
|
B
|
S
|
S
|
Jika p
benar dan q salah maka p dan q adalah salah
|
S
|
B
|
S
|
Jika p
salah dan q benar maka p dan q adalah salah
|
S
|
S
|
S
|
Jika p
salah dan q salah maka p dan q adalah salah
|
Dari
table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua
pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan
dianggap salah.
Disjungsi
Selain
menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat
dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'.
Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
12
p
|
q
|
P v q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p
benar dan q benar maka p atau q adalah benar
|
B
|
S
|
B
|
Jika p
benar dan q salah maka p atau q adalah benar
|
S
|
B
|
B
|
Jika p
salah dan q benar maka p atau q adalah benar
|
S
|
S
|
S
|
Jika p
salah dan q salah maka p atau q adalah salah
|
Karena
di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau
kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap
benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.
Implikasi
Implikasi
merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan
dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam
tabel berikut:
p
|
q
|
p => q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika
awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
B
|
S
|
S
|
Jika
awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
|
S
|
B
|
B
|
Jika
awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
S
|
S
|
B
|
Jika
awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
|
Biimplikasi
Di dalam
biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai
sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah.
Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p …..
Jika dan hanya jika q …..'
13
p
|
q
|
p q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
P
adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
|
B
|
S
|
S
|
P
adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
S
|
B
|
B
|
P
adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
S
|
S
|
B
|
P
adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
Ekuivalensi
pernyataan majemuk
Ekuivalensi
pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan
majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui
negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep
ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar
di bawah ini:
Konvers,
Invers dan Kontraposisi
Konsep
ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan
implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada
gambar bawah ini:
14
Kuantor
pernyataan
Pernyataan
berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep
kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
Kuantor
universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau
semua.
Kuantor
eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada,
sebagian, beberapa, atau terdapat.
Ingkaran
dari pernyataan berkuantor
Pernyataan
berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal
adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di
bawah ini:
Penarikan
Kesimpulan
Kesimpulan
dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang
kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di
dalam logika matematika berikut ini:
15
16
Bab 5 TRIGONOMETRI
A. Ukuran Sudut
1. Ukuran
Derajat
Besar
sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran.
Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).
Hubungan
ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:
2. Ukuran
Radian
Satu
radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan
jari-jari.
3. Hubungan
Derajat dengan Radian
Untuk
mengubah sudut sebesar �� ke dalam satuan radian,
menggunakan rumus:
Dan
untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan
rumus:
17
Contoh Soal
1. Nyatakan
sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!
Jawab
:
B. Perbandingan
Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikanlah
gambar berikut!
Jika
dipandang dari sudut ��, maka sisi BC disebut
sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.
Jika
sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka
Contoh
soal
1. Jika
sin 15°= y. Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!
a. Cos
15°
b. Tan
15°
18
Pemecahan:
a. Cos
15°
b. Tan
15°
2. Jawablah
pertanyaan berikut!
a. Diketahui
, tentukanlah nilai dari sin α, tan α, dan cosec α!
b. Tentukan
nilai dari
19
Pemecahan:
b. Nilainya
adalah
C. Perbandingan
Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam
satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:
1. Kuadran
I : 0°≤
α ≤ 90°
2. Kuadran
II : 90° < α ≤
180°
3. Kuanran
III : 180° < α ≤ 270°
4. Kuadran
IV : 270° < α ≤ 360°
20
Perhatikan
gambar berikut!
1. Perbandingan
Trigonometri Sudut di Kuadran I
Pada ∆ AOC,
berlaku:
Pada
∆ BOC, berlaku:
2. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kuadran II
Pada ∆ AOC,
berlaku: ∠α
= 180°- ��
3. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kuadran III
22
Pada ∆ AOC
berlaku: ∠ AOP
= α
D. Persamaan Trigonometri sin
x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α
1. Jika
sin x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360°
2. Jika
cos x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k .
360°
3. Jika
tan x = tan α, maka x = α + k . 180°
1. Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a. Sin
x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°
b. Cos
x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°
Pemecahan:
a. Sin
x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°
Himpunan
penyelesaian={30°,150°}
23
b. Cos
x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°
Himpunan
penyelesainnya adalah {180°}
E. Identitas
Trigonometri
1. Rumus
Dasar
2. Menentukan
Identitas Trigonometri
a. Ubah
bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas kanan.
b. Ubah
bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas kiri.
c. Kedua
ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama.
Contoh
Soal
1. Buktikan
bahwa sec Y – cos Y = sin Y . tan Y
Penyelesaian:
1. sec
Y – cos Y = sin Y . tan Y
bukti
dengan mengubah ruas kiri
24
F. Trigonometri
Pada Segitiga Sembarang
1. Aturan
Sinus
Rumus:
Contoh
soal
1) Perhatikan gambar
berikut
Tentukan
panjang x dalam cm!
Penyelesaian:
2. Aturan
Cosinus
Rumus:
a2 =
b2+c2 - 2bc cos ��
25
b2 =
a2+c2 - 2ac cos ��
c2 =
a2+b2 - 2ab cos ��
Contoh
soal
1) Perhatikan gambar
berikut!
Tentukan
panjang PR!
Pemecahan:
PR2 =
RQ2 + PQ2 – 2RQPQ cos ∠ Q
PR2 =
172 + 302 – 2 . 17 . 30 cos 53°
PR2 =
289 + 900 – 1020 . ⅗
PR2 =
1189 – 612
PR2 =
577
PR
= √577 = 24,02 cm
3. Luas
Segitiga
26
Rumus:
L
= ½ ab sin ��
L
= ½ bc sin ��
L
= ½ ac sin ��
Contoh
Soal
1. Hitunglah
luas ABCD berikut!
Pemecahan:
a. Untuk
∆ BCD
27
Luas
∆ BCD = ½ BD.CD. sin ∠ D
Luas
∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . sin 30°
Luas
∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . ½ = ¼ . 216√12 = 108√3 cm2
b. Untuk
∆ ABD
Luas
∆ ABD = ½ AD.BD. sin ∠D
Luas
∆ ABD = ½ . 18. 18√2 . sin 105°
c. Luas
ABCD
Luas
ABCD = Luas ∆ BCD + Luas ∆ ABD
Luas
ABCD = 108√3 cm2 + 81√3 + 81 cm2
Luas
ABCD = 189√3 cm2 + 81 cm2
Luas
ABCD = 327,35 + 81
28
Bab 6 RUANG DIMENSI TIGA
Garis
tegak lurus bidang
Merupakan
sebuah garis yang posisinya tegak lurus pada suatu bidang dimana garis tersebut
tegak lurus terhadap setiap garis yang ada pada bidang tersebut.
Jarak
titik dan garis
Jarak
titik A dengan garis G merupakan panjang ruas dari garis AA' dimana titik A'
merupakan proyeksi dari A pada g.
Jarak
titik dan bidang
Jarak
antara titik A dan bidang merupakan panjang dari ruas garis AA' dimana titik A'
adalah proyeksi dari titik A pada bidang.
Jarak
antara dua garis sejajar
Untuk
mengetahui jarak antara dua garis sejajar, kita harus menggambar sebuah garis
lurus diantara keduanya. Jarak titik potong yang dihasilkan merupakan jarak
dari kedua garis itu.
29
Jarak
garis dan bidang yang sejajar
Untuk
menentukan jarak antara garis dan bidang adalah dengan membuat proyeksi garis
pada bidang. Jarak antara garis dengan bayangannya adalah jarak garis terhadap
bidang.
Jarak
antar titik sudut pada kubus
Jarak
antar titik sudut pada kubus dapat diketahui melalui rumus:
diagonal
sisi AC = a√2
diagonal
ruang CE = a√3
ruas
garis EO = a/2√6
Penting
untuk diingat:
ketika
kalian ingin menentukan jarak, hal yang pertama kali harus kalian lakukan
adalah membuat garis-garis bantu yang membentuk segitiga. dengan begitu kalian
akan lebih mudah dalam mencari jarak yang ditanyakan di dalam soal.
Sudut
Sudut
antara garis dan bidang
Sudut
antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis dengan
bayangannya apabila garis itu diproyeksikan terhadap bidang yang ada di
bawahnya.
30
Sudut
antara dua bidang
Sudut
antara dua bidang merupakan sudut yang terbentuk oleh dua buah garis lurus yang
posisinya tegak lurus dengan garis potong pada bidang α dan β
31
PENUTUP
Mengingat pentingnya pelajaran
Matematika karena Mtematika termasuk pelajaran yang di ujikan dalam Ujian Nasional untuk itu penulis menyarankan bagi mereka yang
mendapat nilai di bawah KKM untuk:
a. Siswa harus rajin berlatih berhitung
agar mendapat nilai yang maksimal.
b. Berlatih mengerjakan soal-soal.
c. Selalu aktif dalam pembelajaran
Matematika.
d. Mengerjakan tugas yang di berikan dan
rajin belajar.
Karena kita tidak ada ruginya dalam
belajar Matematika dan juga untuk mendapatkan nilai yang kita inginkan dan juga jika kita mau berlatih dan
berusaha semua kata sulit itu bisa di atasi, tingkatan prestasi dan
belajar anda dalam pelajaran matematika.
32